5.1 孤立奇点 ​

1. 奇点：函数中不解析的点。 孤立奇点：函数虽然在$z_0$处不解析，但是在$z_0$的某个去心领域内出处解析，则$z_0$为$f(z)$的孤立奇点
2. 判断奇点是否孤立的方法：利用数列逼近，寻求奇点
3. 孤立奇点的种类：
   • 可去奇点：如果在$z_0$点展开的洛朗级数不含$z-z_0$的负幂项，则孤立奇点$z_0$为可去奇点。 此时展开的洛朗级数就是一个普通的幂级数，幂级数的和函数在$z_0$解析，只需在$f(z)$的值域内补一个对应的值即可，这样$f(z)$在$z_0$就变成解析的了
   • 极点：如果在$z_0$点展开的洛朗级数只含有限个$z-z_0$的负幂项，如关于$(z-z_0{)}^{-1}$的最高幂是m，则该孤立奇点称为$f(z)$的m级极点
   • 本性奇点：如果在$z_0$点展开的洛朗级数有无穷多个$z-z_0$的负幂项，那么该孤立奇点称为$f(z)$的本性奇点。 本性奇点的领域内：给定任意的复数A，总可以找到对应的数列趋近于$z_0$，使得$f(z)$的值趋近于A
   • 总结：孤立奇点种类的充要条件
     • 可去奇点：$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)$存在且有限
     • 极点：$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=\mathrm{\infty }$
     • 本性奇点：$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)$不存在且不为$\mathrm{\infty }$
4. 函数的零点和极点的关系：
   • m级零点的定义：不恒等于0的解析函数$f(z)$如果能表示成
   $$f(z)=(z-z_0{)}^m\varphi (z)，\varphi (z)\mathrm{在}{z}_0\mathrm{点}\mathrm{解}\mathrm{析}\mathrm{且}\varphi (z_0)\ne 0$$则称$z_0$是$f(z_0)$的m级零点
   • 如果$f(z_0)$在$z_0$处解析，则$z_0$ 为$f(z)$的充要条件是：
   $$f^{(n)}(z_0)=0,(n=0,1,2,\dots ,m-1),f^{(m)}{\ne }_0$$
   • 解析函数零点的孤立性：一个不恒为0的解析函数的零点是孤立的
   • 零点和极点的关系：如果$z_0$是$f(z)$的m级极点，则$z_0$是$\frac{1}{f(z)}$的m级零点，反过来也成立
   • 极点阶数=分母零点阶数-分子零点阶数
     • 当 $k>l$ 时（分母阶数 > 分子阶数）： $z_0$ 是 $f(z)$ 的 极点。极点阶数 $m=k-l$。
     • 当 $k=l$ 时： $z_0$ 是 $f(z)$ 的 可去奇点（Removable Singularity）。 函数在该点极限存在且有限（不为0），虽然分母为0，但被分子完全抵消了。
     • 当 $k<l$ 时： $z_0$ 是 $f(z)$ 的 零点。 函数在该点的值为 0。 零点的阶数为 $l-k$。
5. 函数在无穷远点的性态：
   • 孤立奇点的定义：$f(z)$在$z=\mathrm{\infty }$的去心领域$R<|z|<+\mathrm{\infty }$内解析，则称$\mathrm{\infty }$为孤立奇点
   • 映射到t平面：$f(z)=f\left(\frac{1}{t}\right)=\varphi (t)$,则$\varphi (t)$在去心领域$0<|t|<\frac{1}{R}$内解析，则可以展开称洛朗级数$$\varphi (t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}{t}^n+c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{t}^{-n}$$则同样可以定义无穷远点的奇点种类：
     • 无正幂项：可去奇点
     • 有限个正幂项，且最高次为m：m级极点
     • 含有无穷多个正幂项：本性奇点
   • 在判断无穷远点种类的时候，可以直接通过$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}f(z)$判断：
     • 存在：可去奇点
     • 无穷大：极点
     • 不存在又不为无穷大：本性奇点

5.2 留数 ​

1. 留数定义和留数定理：
   • 定义：$f(z)$在以$z_0$的圆环区域内展开的洛朗级数中负幂项$(z-z_0{)}^{-1}$的系数，即$c_{-1}$。
   • 留数定理：若函数$f(z)$在区域D内除了有限个孤立奇点$z_1,z_2,z_3,\dots ,z_n$外处处解析，C是区域D内包围这些奇点的一条正向简单闭合曲线，那么：$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$$
     • 知道奇点的类型有利于求留数，如可去奇点的留数就是0,本性奇点往往只能在$z_0$展开成洛朗级数的方法求$c_{-1}$
2. 留数的计算定理：
   • 定理1：如果$z_0$是一级极点，则$\mathrm{Re}s[f(z),z_0]=\underset{z\to z_0}{lim}f(z)$
   • 定理2：如果$z_0$是$f(z)$的m级极点，则$\mathrm{Re}s[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to z_0}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}(z-z_0{)}^{m}f(z)$
   • 定理3：设$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，如果$P(z),Q(z)$在$z_0$都解析，且$P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0,Q^{\prime }(z_0)\ne 0$，则$z_0$是$f(z)$的一级极点，且：$\mathrm{Re}s[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$
   • 有时候使用这些规则，有时候直接使用洛朗级数展开反而更简单
   • 定理2有时候可以把m取大一些，方便计算。
3. 无穷远点的留数
   • 定义：$f(z)$在以$\mathrm{\infty }$的圆环区域$R<|z|<+\mathrm{\infty }$内展开的洛朗级数中负幂项$(z-z_0{)}^{-1}$的系数变号，即$-c_{-1}$。
   • 重要定理：函数$f(z)$在扩充平面内只有有限个孤立奇点，则$f(z)$在所有奇点（包括$\mathrm{\infty }$）的留数之和等于0
   • 无穷远点的留数计算定理：$\mathrm{Re}s[f(z),\mathrm{\infty }]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot \frac{1}{z^2},0]$

5.3 留数在定积分计算上的应用 ​

1. 形如${\int }_0^{2\pi }R(\cos \theta ,\sin \theta )d\theta$的积分
   • 令$z=e^{i\theta }$
   • $dz=i{e}^{i\theta }d\theta$
   • $\sin \theta =\frac{z^2-1}{2iz},\cos \theta =\frac{z^2+1}{2z}$
   • 使其满足留数定理的条件
2. 形如${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)dx$，且分母的次数至少比分子的次数高两次，并且R(x)在实轴上没有孤立奇点
   • 取积分路线为在上半平面的半圆周，使其包围上半平面的所有极点
   • ${\int }_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)dx=2\pi iRes[R(z),z_k]$
   • 偶函数可以利用对称性求解
3. 形如${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)e^{aix}dx(a>0)$,且分母的次数至少比分子的次数高一次，并且R(x)在实轴上没有孤立奇点
   • 取积分路线为在上半平面的半圆周，使其包围上半平面的所有极点
   • ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)e^{aix}dx=2\pi iRes[R(z)e^{aiz},z_k]$
   • 或${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)\cos axdx+i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}R(x)\sin axdx=2\pi iRes[R(z)e^{aiz},z_k]$
   • 可以用取实部或取虚部的方法求解带有三角函数的积分