数字电路第一章笔记

1.1 数字信号与数字电路

电子电路分成组合逻辑电路和时序逻辑电路
模拟信号与数字信号
- 模拟信号：连续
- 数字信号：离散
- 模拟信号的数字表示：取样、量化、编码
数字信号的表述方法
- 二值数字逻辑和逻辑电平：
  - 二值数字逻辑：用0和1表示的逻辑状态，可以进行运算
  - 逻辑电平：使用H（高电平）和L（低电平）进行表示的逻辑关系。
- 数字波形：
  - 类型：归零型和非归零型
  - 周期性和非周期性
    - 周期T
    - 脉冲宽度 $t_{w}$
    - 占空比 $q = \frac{t_{w}}{T}$
  - 实际数字信号波形
    - 上升时间 $t_{r}$ :从10%到90%
    - 下降时间 $t_{f}$ :从90%到10%
    - 脉冲宽度 $t_{w}$ :从50%到50%
  - 波形图和时序图
    - 波形图：电路输出值与时间对应的图像
    - 时序图：电路状态与时间对应的图像

1.2 数制

十进制：逢十进一，加权展开
二进制：
- 逢二进一，加权展开
- 优点：
  - 简单可靠
  - 运算规则简单
- 波形表示：
  - 使用波形来表示数字比较直观
  - 最低有效位（LSB）：最低位权的那位
  - 最高有效位（MSB）：最高位权的那位
- 数据传输：
  - 由最高位到最低位进行传输
  - 并行传输
十进制与二进制的转换：
- 二进制转十进制：加权展开法
- 十进制转二进制：
  - 整数：倒序除2取余法（除到商为0为止）
    - 十进制数较大时，不必逐次除2,可以直接和2的次幂比较
  - 小数：乘2顺序取整法（考虑四舍五入，常常多算一位）
    - 不一定能完全化为二进制数，在满足误差的情况下四舍五入
十六进制和八进制：
- 十六进制：逢16进一，其中A～F代表十进制中的10～16
  - 因为二进制数很长，所以使用十六进制。
  - 同样可以通过加权展开的方式把十六进制的数转化成十进制
- 十六进制和二进制之间的转换：
  - 二进制转十六进制：
    - 以小数点为界，整数部分从右往左每4位一组，小数部分从左往右每4位一组，不够的补0。
    - 每4位二进制数分别转化。
  - 十六进制转二进制：
    - 每一位数字分别转化：按序排列
- 八进制：逢8进一
  - 同样可以加权展开转化成十进制
- 八进制与二进制之间的转化：
  - 二进制转八进制：
    - 以小数点为界，整数部分从右往左每3位一组，小数部分从左往右每3位一组，不够的补0。
    - 每3位二进制数分别转化。
  - 八进制转二进制：
    - 每一位数字分别转化：按序排列

1.3 二进制数的算术运算

无符号数的算术运算：

加法：
$0 + 0 = 0$ $0 + 1 = 1$ $1 + 1 = 10_{p}$
减法：
$0 - 0 = 0$ $1 - 1 = 0$ $1 - 0 = 1$ $0 - 1 = 1_{p} 1$
乘法：
$0 \times 0 = 0$ $0 \times 1 = 0$ $1 \times 0 = 0$ $1 \times 1 = 1$
除法：
$0 \div 1 = 0$ $1 \div 1 = 1$

带符号的二进制的减法运算
- 二进制的原码、反码和补码：
  - 原码
    - 正数的符号位为0
    - 负数的符号位为1
    - 其余部分用绝对值的二进制形式表示
  - 反码（1‘s complement)
    - 正数的反码为其本身
    - 负数的反码： $N_{反} = (2^{n} - 1) - N$ 简单方法为：符号位不变，其余部分反转
  - 补码（2‘s complement)
    - 正数的补码与原码相同
    - 负数的补码： $N_{补} = 2^{n} - N$
      简单方法：在反码的最低位加上1
- 二进制数减法的补码运算
  - 原理：减去某个数可以通过加上它的负数的补码来完成，并舍弃进位。
    $(A + B)_{补} = A_{补} + B_{补}$ $(A - B)_{补} = A_{补} + （ - B ）_{补}$ $(- A + B)_{补} = （ — A ）_{补} + B_{补}$
  - 注意：
    - 参与运算的是补码，运算结果也是补码
    - 加数和被加数都采用相同的位数，如果运算结果超过了模，则需将进位丢掉后才能得到正确结果。
    - 符号位和数值位一起参与运算，结果的符号位由运算结果决定
- 溢出：为了进行正确的运算，要求使用正确的位数进行补码运算。
- 溢出的判别：两个符号相反的数相加不会产生溢出，但是两个符号相同的数相加有可能产生溢出。
  判定方式：如果两个加数的符号相同，而和的符号和他们的符号不同，则产生溢出。

1.4 二进制代码

二进制数不仅可以表示数，还可以表示文字（控制符）。

代码：表示文字符号信息的二进制数

编码：按照一定规则编制代码，用以表示十进制数值、字母、符号等过程称为编码

解码：把代码还原成所表示的十进制数、字母、符号的过程称为解码

BCD码(binary-coded-decimal)：二-十进制码，用4位进制数来表示1位十进制中的0~9个十个数码。

常见的BCD码：

8421码：有权码，位权为8421

2421码：有权码，位权为2421，具有自补性

格雷码：常见的无权码，具有相邻性、循环性
- 格雷码的构成方法：
  - (n+1)位格雷码有 $2^{n + 1}$ 组代码
  - 前 $2^{n}$ 组代码将n位格雷码按照顺序排列，最高位补0
  - 后 $2^{n}$ 组代码将n位格雷码倒序排放，最高位补1
  - 特性：每次格雷码只变换一个数字
    除了最高位，各位格雷码存在反射轴，形成镜像
- 格雷码与二进制码的转化：
  - 二进制转格雷码：
    - 格雷码最高位和二进制码的最高位相同
    - 从左到右，逐渐将二进制码相邻的2位相加（舍去进位）（进行异或运算），作为格雷码的下一位。
  - 格雷码转二进制：
    - 二进制码的最高位（最左边）与格雷码的最高位相同
    - 将产生的每一位二进制码，与下一位（右侧）相邻的格雷码相加（舍去进位）（进行异或运算），作为二进制码的下一位。
    - 另一种方法是采用异或表达式
  - 格雷码的应用: 错误最小化
ASCII码
- 时间不仅处理数字，而且用于处理字母、符号等文本信息
- 规定了美国信息交换标准代码ASCII（感兴趣可以查阅）

1.5 二值逻辑变量与基本逻辑运算

逻辑运算：按照某种指定的因果关系进行的运算

逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数

逻辑代数只有两个可取的值，0和1，因而称为二值逻辑变量

与运算：
- 逻辑：只有当一件事的几个条件都具备后，这件事才发生
- 符号： $L = A \cdot B$ 其中 $\cdot$ 符号称为与运算符号，在补引起混淆的情况下， $\cdot$ 符号可以省略
或运算：
- 逻辑：当一件事情只要有一个条件得到满足，这件事情就会发生
- 符号： $L = A + B$
非运算：
- 逻辑：一件事情的发生以其相反条件为依据
- 表达： $L = \overset{―}{A}$
常用符合逻辑运算：
- 在实际运算中，更多使用的是它们的组合逻辑运算
- 与非运算：与运算和非运算的结合
  - 逻辑表达式： $L = \overset{―}{A \cdot B}$
- 或非运算：
  - 逻辑表达式： $L = \overset{―}{A + B}$
- 异或运算：
  - 逻辑：两个输入状态相同时，输出为0；两个输入状态不同时，输出为1。
  - 逻辑表达式： $L = \overset{―}{A} B + A \overset{―}{B} = A \oplus B$
- 同或运算：
  - 逻辑：两个输入状态相反时，输出为1，两个输入状态相同时，输出为0。
  - 逻辑表达式： $L = A B + \overset{―}{A} \overset{―}{B} = A ⊙ B$

1.6 逻辑函数及其表示方法

逻辑函数：描述输入逻辑变量和输出逻辑变量的因果关系称为逻辑函数。

逻辑函数的几种表示方法
- 真值表：将输入变量的所有可能取值与其对应的函数值列出得到表格，称为真值表
- 逻辑函数表达式：如 $L = \overset{―}{A} \overset{―}{B} + A B$ 的表达式
- 逻辑图：用或、与、非等逻辑符号，表示各变量之间的逻辑关系的图形叫做逻辑图
- 波形图：对输入变量随时间的每一种取值，得出相应的输出值，将输入输出按时间顺序排列得到的图形。
逻辑函数表示方法之间的转化：
- 真值表转逻辑图：
  - 真值表转逻辑表达式
  - 利用公式法或者卡诺图化简逻辑表达式
  - 根据表达式画出逻辑图
- 逻辑表达式转真值表：
  - 从逻辑图的输入端到输出端，逐级写出表达式，知道推导出输出变量
  - 化简逻辑表达式
  - 把输入变量逐个带入计算，列表得到真值表

1.1 数字信号与数字电路 ​

1.2 数制 ​

1.3 二进制数的算术运算 ​

1.4 二进制代码 ​