第二章：解析函数 ​

2.1 复变函数的极限和连续 ​

1. 极限：若函数f(z)在$z_0$的空心领域内有定义，若存在复数A，$\mathrm{\forall }ϵ>0$,$\mathrm{\exists }\delta (ϵ)>0$使得当$0<|z-z_0|<\delta$,恒有$|f(z)-A|<ϵ$,则称A为$z\to z_0$时的极限。记作：

   $$\underset{z\to z_0}{lim}=A$$

2. 连续：函数f(z)在$z_0$附近的领域内有定义，且$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=f(z_0)$,则称f(z)在$z_0$点连续.

3. 若函数 f 在区域 G 内每一点都连续，则称 f 为 G 内的连续函数

   • 连续函数的和、差、积、商(在分母不为零的点)仍为连续函数
   • 连续函数的复合函数也仍为连续函数.

4. 在有界闭区域$\bar{G}$中连续的函数 f(z) 具有两个重要性质:

   • $|f(z)|$在$\bar{G}$中有界，并达到它的上下界:
   • $|f(z)|$在$\bar{G}$一致连续

2.2可导与可微 ​

1. 可导：

   • 定义：设 ω = f(z) 是区域 G 内的单值函数，如果在 G 内的某点 z ，$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }w}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}$存在，则称f(z)在该点可导，该极限值称为该点的导数

     • 导数的定义在形式上和实数中一样，只是把实自变量换成了复自变量，因此高等数学中的各种求导数的公式都可搬用到复变函数中来。
     • 需要强调，上面所说的极限存在，就意味着$\mathrm{\Delta }z$ 以任意方式趋于0时，$\frac{\mathrm{\Delta }w}{\mathrm{\Delta }z}$ 都趋于同样的有限值.反过来说，如果当$\mathrm{\Delta }z$以不同方式趋于 0 ，该极限趋于不同的值的话，则该极限不存在

   • 柯西黎曼条件：函数可导的必要条件

     

     • Cauchy - Riemann 条件是函数可导的必要条件，但不是充分条件
     • 如果函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 满足：
       • f(z) 在点 z 满足柯西-黎曼条件。
       • 实部 u(x, y) 和虚部 v(x, y) 作为二元实函数，在点 (x, y) 是可微的(四个偏导数都存在且连续)
       • 那么，函数 f(z) 在点 z 必定可导。
     • 函数可导是比函数连续更强的条件。如果函数 f(z) 在 z 点可导，则在 z 点必连续。但是函数 f(z) 在 z 点连续，并不能推出函数 f(z) 在 z 点可导

   • 导数的几何意义：

     • 模 (Magnitude) $|f^{\prime }(z_0)|$： 局部区域的放大/缩小比例
     • 辐角 (Argument) $arg(f^{\prime }(z_0))$： 局部区域的旋转角度。

2. 可微：

   • 定义：$\mathrm{\Delta }w=A(z)\mathrm{\Delta }z+\rho (\mathrm{\Delta }z)$ 其中$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\rho (\mathrm{\Delta }z)}{\mathrm{\Delta }z}=0$ 则称w=f(z)在该点可微，$\mathrm{\Delta }w$的线性部分$A(z)\mathrm{\Delta }z$称为w在z点的微分。记作：

     $$dw=A(z)\mathrm{\Delta }z$$

   • 可以证明，如果函数 ω = f(z) 在 Zo 点可导，则一定在该点可微，反之亦然，并且$A(z_0)=f^{\prime }(z_0)$

2.3 解析函数 ​

• 定义：在区域 G 内每一点都可导的函数，称为 G 内的解析函数

• 函数在 G 内解析的必要条件是在 G 内处处满足 Cauchy - Riemann 条件

• 由柯西黎曼条件可知：解析函数的实部和虚部是相互关联的：

  $$dv=\frac{\partial v}{\partial x}x+\frac{\partial v}{\partial y}y=-\frac{\partial u}{\partial y}x+\frac{\partial u}{\partial x}y$$

  只需进行二元积分就能求出v的形式

• 解析函数的实部和虚部这种依赖关系还具有几何表示：

  

• 是不是任意一个二元函数都可以用来作为解析函数的实部或虚部呢?回答是否定的。3.5中将证明，解析函数的实部 u(x , y) 和虚部 v(x , y) 的二阶偏导数一定存在并且连续。

  故：

  $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$

  解析函数的实部和虚部都必须是调和函数.而且，因为一个解析函数的实部和虚部必须受到Cauchy - Riemann 方程的制约，所以，解析函数的实部和虚部就构成一对共轭调和函数。

2.4 初等函数 ​

1. 幂函数

   • 当 n= 0,1,2 时,{$z_n$}在 C 内解析;并且当 n = 1,2时，在 z= ∞不解析. 当 n = -1，-2时，{$z_n$}在 z=0不解析，在包括∞点在内的C内处处解析.
   • 幂函数的导数：$（z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$
   • 还可以定义多项式：$P_n(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+...$
   • 有理函数：$R(z)=\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$

2. 指数函数：

   ​ $$ e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$$

   • 由实指数函数及纯虚数指数函数的性质容易看出："指数函数相乘等于指数相加"这个法则，对于复指数函数仍然成立
   • $e^z$在C内解析，在无穷远处无定义，因此也不解析。（当z沿正实轴或者负实轴趋于无穷时，$e^z$逼近不同的数值
   • 复指数函数特有而实指数函数不具备的一个性质是周期性，周期为如$2\pi i$

3. 三角函数：

   • 定义：$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
   • $sinz$ $cosz$在C内解析，无穷远点为唯一奇点
   • 周期性：和实三角函数一样，sinz 和 cosz 也都是周期函数，周期为$2\pi$
   • 和实三角函数不同，sinz 和 cosz 的模可以大于1
   • 可以用sinz和cosz定义其他三角函数：$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$等等

4. 双曲函数：

   • $\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$ $\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$ $\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}$
   • 双曲函数可以和三角函数互化：$\sinh z=-i\sin iz$ $\cosh z=cosiz$ $\tanh z=-i\tan iz$
   • 性质：
     • 周期性，双曲函数sinh z , cosh z , sech z 和 cschz 的周期是$2\pi i$，tanhz 和 cothz 的周期是$\pi i$;