第一章：复变和复变函数 ​

1.1 复数与复数运算 ​

1. 复数的定义：

   • 有序实数对(x,y)遵从以下规则：

     $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$$$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2-y_1{x}_2)$$

     则有序实数对(x,y)定义了一个复数$z=(x,y=x(1,0)+y(0,1)$，其中x称为z的实部，y称为z的虚部。

     记作：$x=Rez,y=Imz$

   • 复数相等的条件：实部和虚部分别相等

2. 特殊的复数：1，i，0

   • 当y=0时，$(x,0)=x(1,0)=x$为实数，如实数1
   • 当x=0时，记$i=(0,1)$,$z=(0,y)=y(0,1)=iy$，称为纯虚数
   • 故复数可以表示成$z=x+iy$
   • 由复数的运算法则可知$i^2=-1$
   • 复数都存在其相反数$-z=(-x,-y)$

3. 复数的几何表示

   • 复平面：用一个二维平面，横轴为x（称为实轴），纵轴为y（称为虚轴）
   • 因此，复数可以用复平面上的一个点表示
   • 复数也可以用复平面上的矢量来表示。因此复数的加法转化成矢量的加法，满足三角形法则/平行四边形法则，复数的减法可以转化成矢量的减法。

4. 共轭复数与复数除法：

   • 共轭复数：$z^{\ast }=x-iy$与$z=x+iy$互称共轭复数

   • 共轭复数的小结论：

     • $(z^{\ast }{)}^{\ast }=z$
     • $z+z^{\ast }=2x$为实数，$z-z^{\ast }=2iy$为纯虚数

   • 利用共轭复数可以计算复数的除法：

     $$\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}=\frac{(x_1+i{y}_1)(x_2-i{y}_2)}{(x_2+i{y}_2)(x_2-i{y}_2)}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}$$

5. 复数的极坐标表示：

   • $x=r\cos \theta$ $y=r\sin \theta$
   • 因此复数可以用$\theta$和$r$表示
     • r称为模
     • $\theta$称为辅角，由于三角函数的周期性，辅角不止一个，因此把位于$(-\pi ,\pi ]$之间的辅角值称为辅角的主值
   • $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
   • 复数的乘法
     • 模相乘，辅角相加
     • $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$
   • 复数的除法
     • 模相除，辅角相减
     • $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2))$$

6. 复数的指数表示

   • 有欧拉公式，复数可以表示成：

     $$z=r{e}^{i\theta }$$

   • 同理，r为复数的模，$\theta$为复数的辅角

   • 其满足指数函数同样的性质，如乘法和除法

1.2 复数序列 ​

1. 复数序列：按照一定顺序排列的无穷个复数：

   $$z_n=x_n+i{y}_n$$

   显然，一个复数序列完全等同与两个实数序列$x_n$和$y_n$

2. 聚点：

   • 定义：对于序列{$z_n$},$\mathrm{\forall }ϵ>0$,$\mathrm{\exists }z\in C$,恒有无穷个n使得$|z_n-z|<ϵ$,则称z为该序列的聚点
   • 一个序列可以存在不止一个聚点
   • 对于实数序列{$x_n$}的聚点,数值最大的称为实数序列的上极限，记为$\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}}{x}_n$.数值最小的称为实数序列的下极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{x}_n$

3. 有界序列和无界序列：给定序列{$z_n$},$\mathrm{\exists }M>0$, 使得$\mathrm{\forall }n$ $|z_n|<M$,则该序列为有界序列，否则为无界序列

4. Bolzano - Weierstrass 定理：一个有界序列至少有一个聚点.

5. 极限：

   • 给定序列{$z_n$} ,$\mathrm{\exists }z$ $\mathrm{\forall }ϵ>0$ $\mathrm{\exists }N(ϵ)>0$ 当$n>N(ϵ)$时，有$|z_n-z|<ϵ$,则称z为该序列的极限，{$z_n$}收敛于z，记为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=z$
   • 一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点.
   • 一个无界序列不可能是收敛的.不收敛的序列称为发散序列
   • 序列收敛的 Cauchy 充要条件:$\mathrm{\exists }ϵ>0$,$N(ϵ)\in N_{+}$,使得对于$\mathrm{\forall }p\in N_{+}$,有$|z_{N+p}-z_N|<ϵ$

1.3 复变函数 ​

1. 点集：复平面内点的集合

2. 内点：如果以该点为圆心能够作一个圆，使得圆内所有的点都属于点集，则称该点为点集的内点

3. 区域：(1) 全部都由内点组成 (2) 具有连通性，即点集中任意两点，都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全部属于此点集.

   • 单连通区域:在区域内作任何简单闭合围道(自身不相交的闭合曲线) ，围道内的点都属于该区域;
   • 多连通区域(或称复连通区域) ：不是单连通区域的区域.
   • 有界区域：$\mathrm{\exists }M>0$使得$\mathrm{\forall }z\in G$,都有$|z|<M$,则称区域G为有界区域
   • 无界区域：反之则为无界区域
   • 边界点：点$z_1\notin G$但是以$z_1$为圆心作圆，对$\mathrm{\forall }r>0$圆$|z-z_1|<r$总有区域G中的点。边界点的全集构成区域G的边界，区域加上边界构成闭区域
   • 区域的方向：如果沿着区域的边界前进，区域恒保持在边界的左侧，则此走向称为边界的正向。

4. 复变函数：如果对于区域 G 内的每一个复数 z ， 都有唯一一个复数 ω 与之对应， ω 和 z 之间的这种对应关系记为 f， 则称 f 为定义在 G 上的复变函数。

   区域G称为函数f的定义域

5. 通常，函数着重于说明复数与复数之间的对应关系.为了强调点与点之间的对应关系，我们也常把函数 ω = f(z) 称为映射(或变换) ，记为 $f:z\to w$

   其中 ω 称为 z 在映射 f 下的像 ，z称为 ω 的原像

   给定一个自变量值，许可有多个函数值与之对应.这种对应关系，称为多值函数

1.4 无穷远点 ​

对于无界序列{$z_n$},$\mathrm{\forall }M>0$ 总有无穷多个$z_n$满足$|z_n|>M$. 这时我们可以想象成它们会聚于无穷远处.换言之，无界序列 {$z_n$} 也有一个特殊的聚点一一无穷远点(记为∞) .

在复平面内以任意方式无限地远离原点，即可接近无穷远点。因此说，无穷远点不在复平 面 C 内，是一个不在复数域 C 内的数：其模大于任何正数，辐角不定。

可以引进复数球面：